TEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Sistemas de ecuaciones lineales.

• Ecuaciones lineales. Definición.

• Sistemas de ecuaciones lineales.Definición.

• Clasificación de sistemas según su número de soluciones.

• Discusión y resolución de un sistema por el Método de Gauss.

• Expresión matricial de un sistema.

1. Teorema de Rouché-Fröbenius.

• Teorema de Rouché-Fröbenius.

• Discusión de sistemas mediante el Teorema de Rouché-Fröbenius.

1. Regla de Cramer.

• Resolución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas compatible determinado por Cramer.

• Generalización de la regla de Cramer para sistemas compatibles indeterminados.

1. Sistemas Homogéneos.

• Definición.

• Resolución de un sistema homogéneo.

1. Sistemas de ecuaciones con parámetros.

• Discusión de un sistema con parámetros.

• Resolución de un sistema con parámetros.

TEMA 2 DETERMINANTES

• Desarrollo de un determinante por sus adjuntos.

• Definición de menor de una matriz.

• Cálculo del rango de una matriz mediante determinantes.

• Definición de matriz de los adjuntos de una matriz.

• Cálculo de la matriz inversa mediante determinantes.

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TEMA 9 FUNCIONES POLINÓMICAS, RACIONALES Y EXPONENCIALES.

9.1 FUNCIONES POLINÓMICAS.

 

–FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO.

• Función afín. Y = k·x

• Propiedades:

Representación gráfica: Recta que pasa por origen.

Dominio: R

Recorrido: R

Puntos de corte: EJE X ( 0,0 ) / EJE Y ( 0,0)

Simetría: IMPAR (f(-x) = -f(x))

Continuidad: Si

Monotonía: Creciente si m>0

Decreciente si m<0

Máximos y mínimos no tiene.

– Función de proporcionalidad directa: y = mx+n

• Propiedades:

Representación gráfica: Recta que pasa por (0,n).

Dominio: R

Recorrido: R

Puntos de corte: EJE X ( -n/m,0 ) / EJE Y ( 0,n)

Simetría: No tiene

Continuidad: Si

Monotonía: Creciente si m>0

Decreciente si m<0

Máximos y mínimos no tiene.

–FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO.

• Definición y= ax^2 + bx + c

• Propiedades:

Vértice (-b/2a, f(-b/2a) y eje de simetría (x= -b/2a).

Representación gráfica: Parábola (tener en cuenta que si a>0 ramas hacia arriba y si a<0 ramas hacia abajo).

Dominio: R

Puntos de corte: EJE X ( f(x) = 0 ) / EJE Y ( 0,f(0))

Simetría: Estudiar si PAR (f(x) = f(-x) )

Continuidad: Si

Monotonía. Depende de a. (Ramas hacia arriba o hacia abajo)

Máximo (si a<0 , el vértice) y Mínimo (si a>0, el vértice).

 

 

9.2 FUNCIONES RACIONALES.

–FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.

• Definición y = k/x

• Propiedades:

Representación gráfica: Hipérbola (cuadrante 1 y 3 si k>0 y cuadrante 2 y 4 si k<0)

Dominio: R-0

Puntos de corte: NO HAY

Simetría: IMPAR

Continuidad: Discontinuidad de salto infinito en x=0

Monotonía: Creciente si k<0 y Decreciente si k>0.

Máximo y Mínimo: No hay.

–FUNCIONES DE DEL TIPO y= k/x-a

• Definición y = k/x-a (Se mueve el eje vertical a x = a)

• Propiedades:

Representación gráfica: Hipérbola (cuadrante 1 y 3 si k>0 y cuadrante 2 y 4 si k<0)

Dominio: R-a

Puntos de corte: Eje y (0,f(0))

Simetría: No hay

Continuidad: Discontinuidad de salto infinito en x=a

Monotonía: Creciente si k<0 y Decreciente si k>0.

Máximo y Mínimo: No hay.

–FUNCIONES DE DEL TIPO y= k/x-a + b

• Definición y = k/x-a + b (Se mueve el eje vertical a x = a y el vertical a y = b)

• Propiedades:

Representación gráfica: Hipérbola (cuadrante 1 y 3 si k>0 y cuadrante 2 y 4 si k<0)

Dominio: R-a

Puntos de corte: Eje X y Eje y (0,f(0))

Simetría: No hay

Continuidad: Discontinuidad de salto infinito en x=a

Monotonía: Creciente si k<0 y Decreciente si k>0.

Máximo y Mínimo: No hay.

 

9.3 FUNCIONES EXPONENCIALES.

– FUNCIONES DE LA FORMA y = a^x

• Definición

• Propiedades:

Representación gráfica: (cuadrante 1 y 2; si a>1 creciente y si a<1 decreciente.)

Dominio: R

Puntos de corte: Eje X (no hay) y Eje y (0,f(0))

Simetría: No hay

Continuidad: Si

Monotonía: Creciente si a>1 y Decreciente si a<1.

Máximo y Mínimo: No hay.

TEMA 8 FUNCIONES

8.1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

• Definición.

  Una función real, f, de variable real es una relación que asocia a cada numero real, x, un único número real y = f(x). Se puede expresar de esta forma:

f: R ———— R

x ———- y= f(x)

• Variable independiente y dependiente.

  La variable x se denomina variable independiente y la variable y es la variable dependiente.

– Formas de expresar una función: enunciado, expresión algebraica, tabla de valores y gráfica.

Ej: Enunciado: la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado.

8.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.

• Definición de dominio y recorrido.

  Dominio de la función es el conjunto de los valores para los que está definida la función. Se representa por Dom f.

  Recorrido de la función es el conjunto de valores que toma la función. Se representa por Imf.

• Cálculo del dominio de una función.

  Las expresiones polinómicas están definidas para todos los números reales.

  Las expresiones con x en el denominador no están definidas cuando el denominador se anula.

  Las raíces de índice par solo están definidas para radicandos positivos o igual a cero.

  Si la función está expresada gráficamente, el dominio se determina observando el conjunto de valores reales del eje de abcisas (x) que tienen imagen (gráfica).

     – Cálculo del recorrido de una función.

Si la función está expresada gráficamente, el dominio se determina observando el conjunto de valores reales del eje de ordenadas (y) que tienen gráfica.

8.3 PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN.

– Puntos de corte con los ejes.

 

Eje X: Se resuelve f(x)=0, y obtenemos las abcisas de los puntos de corte.

Eje Y: Se calcula f(0) y obtenemos la ordenada del punto de corte.

– Monotonía.

Una función es creciente en (a,b) si cualquier para de valores x e y del intervalo con x<y se cumple que (estrictamente creciente si f(x)<f(y)).

Una función es decreciente en (a,b) si cualquier para de valores x e y del intervalo con x<y se cumple que (estrictamente decreciente si f(x)>f(y)).

– Máximos y mínimos.

Una función tiene un máximo relativo en a si la función, en ese punto, pasa de ser creciente a decreciente.

Una función tiene un máximo absoluto en a si es el mayor de todos los máximos relativos.

Una función tiene un mínimo relativo en a si la función, en ese punto, pasa de ser decreciente a creciente.

Una función tiene un mínimo absoluto en a si es el menor de todos los mínimos relativos.

– Simetrías.

Una función es PAR si es simétrica respecto el eje Y. Se debe verificar f(-x) = f(x).

Una función es IMPAR si es simétrica respecto el eje del origen de coordenadas. Se debe verificar f(-x) = – f(x).

– Continuidad.

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lapiz del papel.

Los puntos donde la función no es continua se llaman puntos de discontinuidad y estas pueden ser discontinuidad evitable, de salto finito y de salto infinito.