TEMA 8 FUNCIONES

TEMA 8 FUNCIONES

8.1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

• Definición.

  Una función real, f, de variable real es una relación que asocia a cada numero real, x, un único número real y = f(x). Se puede expresar de esta forma:

f: R ———— R

x ———- y= f(x)

• Variable independiente y dependiente.

  La variable x se denomina variable independiente y la variable y es la variable dependiente.

– Formas de expresar una función: enunciado, expresión algebraica, tabla de valores y gráfica.

Ej: Enunciado: la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado.

8.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.

• Definición de dominio y recorrido.

  Dominio de la función es el conjunto de los valores para los que está definida la función. Se representa por Dom f.

  Recorrido de la función es el conjunto de valores que toma la función. Se representa por Imf.

• Cálculo del dominio de una función.

  Las expresiones polinómicas están definidas para todos los números reales.

  Las expresiones con x en el denominador no están definidas cuando el denominador se anula.

  Las raíces de índice par solo están definidas para radicandos positivos o igual a cero.

  Si la función está expresada gráficamente, el dominio se determina observando el conjunto de valores reales del eje de abcisas (x) que tienen imagen (gráfica).

     – Cálculo del recorrido de una función.

Si la función está expresada gráficamente, el dominio se determina observando el conjunto de valores reales del eje de ordenadas (y) que tienen gráfica.

8.3 PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN.

– Puntos de corte con los ejes.

Eje X: Se resuelve f(x)=0, y obtenemos las abcisas de los puntos de corte.

Eje Y: Se calcula f(0) y obtenemos la ordenada del punto de corte.

– Monotonía.

Una función es creciente en (a,b) si cualquier para de valores x e y del intervalo con x<y se cumple que (estrictamente creciente si f(x)<f(y)).

Una función es decreciente en (a,b) si cualquier para de valores x e y del intervalo con x<y se cumple que (estrictamente decreciente si f(x)>f(y)).

– Máximos y mínimos.

Una función tiene un máximo relativo en a si la función, en ese punto, pasa de ser creciente a decreciente.

Una función tiene un máximo absoluto en a si es el mayor de todos los máximos relativos.

Una función tiene un mínimo relativo en a si la función, en ese punto, pasa de ser decreciente a creciente.

Una función tiene un mínimo absoluto en a si es el menor de todos los mínimos relativos.

– Simetrías.

Una función es PAR si es simétrica respecto el eje Y. Se debe verificar f(-x) = f(x).

Una función es IMPAR si es simétrica respecto el eje del origen de coordenadas. Se debe verificar f(-x) = – f(x).

– Continuidad.

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lapiz del papel.

Los puntos donde la función no es continua se llaman puntos de discontinuidad y estas pueden ser discontinuidad evitable, de salto finito y de salto infinito.